快乐风男 勾引 数学天才英年早逝多年后，她的想想欢快重生

一项新的解说拓展了已故菲尔兹奖得主姆·米尔扎哈尼的计划效力快乐风男 勾引，动作他乡数学领域的前驱，她的遗产得到了延续。

撰文 | Joseph Howlett

翻译 | zzllrr小乐

玛丽亚姆·米尔扎哈尼（中）在计划生时期窜改了双曲几何领域。但她在40岁时就物化了，许多感敬爱的问题还未能回答。数学家劳拉·蒙克（Laura Monk，左）和纳利尼·安娜塔拉曼（Nalini Anantharaman，右）当今正在继续她未竟的职业。图源：Kristina Armitage/Quanta Magazine; 原图（左起）：Fondation L’Oréal For Women in Science， Jan Vondrák， P. Imbert/Collège de France

21世纪初，哈佛大学一位年青的计划生绘画了一个奇异的数学天下——一个由几何直观无法解释的阵势所组成的天下。她的名字叫玛丽亚姆·米尔扎哈尼（Maryam Mirzakhani，1977 - 2017），她自后成为第一位取得菲尔兹奖的女性，这是数学界的最高荣誉。

她最早的责任是对于双曲曲面（hyperbolic surface）的。在这种曲面上，平行线会相互远隔，而不是保捏疏导的距离，而况在每少量上，曲面齐会像马鞍同样向两个违犯的标的鬈曲。咱们不错设想球面或甜甜圈的名义，但双曲曲面的几何脾气相配奇怪，以至于无法可视化。尽管如斯，贯通它们也很进犯，因为这种曲面在数学领域乃至弦表面中无处不在。

米尔扎哈尼是一位颇具影响力的双曲天地制图师。还在读计划生时代，她就提议了始创性的技艺，使她能够对这些阵势进行分类，继而对数学其他领域进行革命。她但愿在异日某个时候能再行谛视她的双曲领域舆图——填补其细节并作念出新发现。但还异日得及罢了，她便被会诊出患有乳腺癌。米尔扎哈尼于2017年物化，年仅40岁。

尔后，两位数学家拾起了她留住的踪迹，并用其进一步加深了对双曲曲面的贯通。在上个月发表的一篇线上论文中，法兰西公学院（Collège de France）的纳利尼·安娜塔拉曼（Nalini Anantharaman）和布里斯托大学（University of Bristol）的劳拉·蒙克（Laura Monk）以米尔扎哈尼的计划为基础，解说了一个对于典型双曲曲面的费解申诉。她们解说，也曾被认为诡秘致使不可能的曲面执行上很常见。事实上，要是无意采纳一个双曲曲面，基本不错保证它具有某些要道属性。

米尔扎哈尼在多个计划领域取得要害冲突，并成为第一位取得菲尔兹奖的女数学家。图源：Jan Vondrák

“这是一项里程碑式的效力，”普林斯顿大学数学家彼得·萨纳克(Peter Sarnak)评价谈，“异日将有更多发现从中浮现。”

这项尚未完成同业评审的计划标明，双曲曲面比东谈主们设想的还要奇怪且难以贯通。它建立在米尔扎哈尼宏伟的数学遗产之上，再行燃烧了她的空想，并将这个遍布难以设想阵势的天地照亮。

一篇内容丰富的论文

米尔扎哈尼在伊朗德黑兰长大，童年时，她是个贪心的小读者，但愿有一天能写出我方的著述。而她在数学方面也很优秀，最终在海外数学奥林匹克竞赛（IMO，一项针对高中生的闻明竞赛）上赢得了两枚金牌。1999年，从谢里夫理工大学毕业后，她赶赴哈佛大学深造。在那里，她爱上了双曲几何。动作一个狂热的涂鸦宠爱者，她心爱挑战贯通那些从界说上就无法绘画的阵势。

米尔扎哈尼在伊朗长大，当先的空想是成为又名作者，自后才决定成为又名数学家。图源：Courtesy of Maryam Mirzakhan

“双曲曲面有点像一块拼图，你不错在局部拼接起来，但在咱们的天地中却长久无法完成，”密歇根大学数学家、米尔扎哈尼的前博士后计划员亚历克斯·赖特（Alex Wright）说谈。这是因为拼图的每一块齐是马鞍形的。你不错将几块强迫在沿途，但长久无法实足闭合曲面——至少在咱们平坦的三维空间中不可。这使得双曲曲面特地难以计划，致使对于它们的基本问题也悬而未决。

为了贯通双曲曲面，数学家计划了其上的闭合旅途。这些闭合旅途称为测地线（geodesic），有各式形态；对于给定的阵势，从开动少量到复返开赴点，测地线即是两点之间最短的可能旅途。曲面上的孔越多，其测地线就越千般、越复杂。通过计划曲面上有几许特定长度的不同测地线，数学家能够了解曲面举座的形态。

为了贯通一个曲面，数学家计划其上的旅途——称为测地线——这些旅途沿着最短的可能轨迹回到开赴点。上图中这两种阵势齐有无尽多的测地线，因此数学家们筹备的是不朝上给定长度的测地线的数目。跟着曲面中孔洞的数目加多，测地线数目也会加多。图源：Mark Belan/Quanta Magazine

米尔扎哈尼对这些环绕曲面的线十分千里醉。在与共事考虑时，她抵制拿起这些内容，一贯的矜捏便会消失。她常常气急龙套地评论测地线和联系对象，仿佛它们是故事中的东谈主物。“我铭记她演讲时会问这两个问题：有几许条弧线，它们在那处？”多伦多大学的卡斯拉·拉菲（Kasra Rafi）回忆说。

在读博时代，她提议了一个公式，不错估算出任何双曲曲面在给定长度内有几许条测地线。这个公式不仅让她能够刻画单个曲面的脾气，还匡助解说了弦表面中一个闻明的猜想，并让她了解不错构造哪些类型的双曲曲面。

完成学位后，米尔扎哈尼继续在几何学、拓扑学和能源系统治域取得进犯发挥。但她从未健无私方博士论文的主题。

她但愿进一步了解我方分类的“双曲曲面动物园”中栖息的各式结构。特地是，她想了解典型双曲曲面是什么形势。数学家凡俗开端计划他们能构造的对象——如图形、结、数列等。但数学家构造的常常“少量也不典型”，索邦大学的布拉姆·佩特里（Bram Petri）谈谈，“咱们倾向于刻画相配特地的案例。要是无意采纳出具有典型性的图形、结或数列，那么它看起来会与其他特例相配不同。”

于是米尔扎哈尼源头无意挑选双曲曲面并计划其脾气。“她有完满的器具，是以这很天然，”赖特说。

但她在的确源头计划之前就物化了。蒙克说：“她那时仅仅在研制‘机器’，然后就莫得时候使用它了。”

继续追问

蒙克从未想过我方会成为米尔扎哈尼的交班东谈主。事实上，直到20岁露面，她齐莫得谋略从事数学计划。她从小就想当又名淳厚，那时为了上数学课时感到不那么聊，她会指挥同学。“我在学校过得很不喜悦，”她说，“于是干脆当助教，让我方忙起来。”

劳拉·蒙克自读计划生以来一直在计划米尔扎哈尼在物化前未能完成的数学表面快乐风男 勾引。蒙克合计她通过米尔扎哈尼的解说了解了这位数学家。图源：Fondation L’Oréal For Women in Science

她参加了巴黎萨克雷大学的硕士课程，全班40东谈主中，只须三名女生。左右毕业时，她得知两位女同学也策动离开学术界。她们的离开让她不禁反想，她们的策动究竟是“咱们我方的个东谈主采纳和愿望，如故因为咱们处在一个相配特殊的环境中，受到的影响比咱们意志到的更大。” 她感到一种牵累，对于那些学数学的女孩，我方必须成为女性在数学领域取取得手的榜样。

于是她决定攻读博士学位。“咱们至少要有一个东谈主坚捏下来，”她告诉我方，“不然就太可悲了。”（自后，另一个女生也取得了博士学位。）

在一位熏陶的建议下，蒙克坐火车去见纳利尼·安娜塔拉曼，后者有可能成为她的导师。和米尔扎哈尼同样，安娜塔拉曼亦然多个领域的众人。事实上，安娜塔拉曼和米尔扎哈尼两东谈主在任业生活中屡次邂逅——她们年岁相仿，计划敬爱相近，且齐对东谈主体裁科抱有热忱：米尔扎哈尼险些投身材裁计划，而安娜塔拉曼曾接收过古典钢琴检修，一度省略情我方该采纳音乐如故数学。

纳利尼·安娜塔拉曼在决定成为数学家之前，险些采纳以古典钢琴家为办事。她近期在双曲几何领域取得了一项始创性效力。图源：Noel Tovia Matoff

2015年，两位数学家一口同声到加州大学伯克利分校进行了为期一学期的走访。米尔扎哈尼的女儿和安娜塔拉曼的男儿年岁相仿，两位数学家偶尔会在社区游乐场碰面，在孩子们玩耍的时候，她们评论着作念母亲的话题。

安娜塔拉曼知谈米尔扎哈尼在人命的终末阶段源头探索无意双曲曲面。她当今但愿在此基础上继续起劲。

刻画双曲曲面的一种步调是测量其连通性。设想一下你辱骂面上的一只蚂蚁，沿着无意的标的爬行。要是走了一会儿，你最终到达曲面上任何地点的可能性是否独特？若曲面的连通性很好，即各个区域之间有好多可能的旅途，那么谜底是深信的。但要是它的连通性很差——就像一个哑铃，两个大区域仅由一座短促的桥团结——你可能会在一侧徬徨许久，然后才略找到通往另一侧的路。

数学家使用一个称为谱隙（spectral gap）的数来测量曲面的连通性：该值越大，曲面的连通性就越强。尽管咱们仍然无法直不雅设想这类曲面，但谱隙提供了一种想考其举座阵势的步调。\"这就像用数据回答'这个曲面长什么样？'\"拉菲解释谈。

曲面不错以奇怪的形态鬈曲和扭转。数学家通过测量其连通性来贯通它们。要是你在连通性差的曲面上应对行走，从一派区域到另一派区域需要很万古候。而在细腻连通的曲面上，你更有可能快速到达另一个区域。图源：Mark Belan/Quanta

天然表面上谱隙不错取0到1/4之间的任何值，但数学家能够构造的大无数双曲曲面的谱隙相对较小。直到2021年，东谈主们才找到步调如何构建具有纵情孔洞数目且具有最大谱隙的曲面，即连通性达到最大的曲面。

尽管已知的高谱隙双曲曲面相对较少，但数学家们如故怀疑它们执行上十分普遍。双曲曲面的天地精深浩荡，而且尚未被充分探索，天然数学家凡俗不会在这个天地中构造某个具体的曲面，但他们但愿了解典型曲面的一般性质。当他们将双曲曲面动作一个举座来看待时，他们瞻望绝大无数曲面的谱隙为1/4。

这恰是安娜塔拉曼但愿分派给她的新计划生蒙克的问题。蒙克渴慕与一位女导师密切和谐，并为我方设定了齐人攫金的指标——“要是我要读博士学位，就一定要作念出效力，”她记恰那时是这样想的——于是她签了字。

撰写续集

2018年，米尔扎哈尼物化一年后，蒙克源头随从安娜塔拉曼开启博士计划。她的第一步是尽可能多地学习米尔扎哈尼在双曲曲面方面的计划。

大家皆知，要是能弥散准确地忖度出曲面上闭合测地线的数目（米尔扎哈尼深远计划过的那些环状旅途），你就能筹备出曲面的谱隙。蒙克和安娜塔拉曼需要解说：险些通盘双曲曲面的谱隙齐是1/4。也即是说，跟着曲面上孔洞数目的加多，采纳具有最好谱隙的曲面的可能性将接近100%。

两东谈主开端从米尔扎哈尼在博士时代提议的测地线计数公式源头。问题在于，这个公式会低估测地线的数目。它能筹备出大部分测地线，但不是全部——漏掉了更复杂的测地线，比如一个围绕两个洞的8字形，这些测地线在交叉后又回到开赴点。

米尔扎哈尼花了数年时候探索“双曲”几何的奇异天下。她心爱在广博的纸张上涂鸦我方的想法，尽管这种阵势从界说上来说是无法被画出来的。图源：Thomas Lin

尽管米尔扎哈尼的公式存在局限，蒙克与安娜塔拉曼仍从中窥见了解说较大谱隙的可能。“这简直像是古迹一般，”安娜塔拉曼赞赏谈，“它如斯有用，对我来说仍然感到很诡秘。”

要是她和蒙克能改良米尔扎哈尼公式，使其也能筹备更复杂的测地线，放弃会怎样？也许她们能把筹备作念得弥散精准，从而得到1/4的谱隙，这亦然她们之前的数学家们渴慕罢了的指标。

安娜塔拉曼眨眼间想起米尔扎哈尼物化前两年发给她的一封邮件，其中提议了一系列联系谱隙和测地线计数之间关系的问题。“那时，我实足不知谈她为什么要问这些问题，”安娜塔拉曼说。但当今她意志到，概略米尔扎哈尼早已猜测要用访佛的步调。

攻读博士时代，蒙克曾花了许多元气心灵计划如何将米尔扎哈尼公式延迟到更复杂的测地线。与此同期，她还撰写了长篇文章，可贵证明米尔扎哈尼在原始论文中未实足解释的要道观念。“我合计她的一些想法仅仅搁在案头，等着别东谈主向学界解释，因为她本东谈主已莫得契机去作念了。”蒙克如是说。

到2021年，蒙克一经弄明晰了如何筹备畴昔无法筹备的各式测地线。她和安娜塔拉曼知谈，再作念一些附加的责任，她们可能就能用新公式更好地忖度谱隙。但她们拒却发表阶段性效力，直指完整解说1/4的最终指标。

然后，她们堕入了窘境。

重温圣典

有一种特地难缠的测地线挡住了她们的去路。这类测地线会万古候缠绕在曲面的销毁区域，酿成盘旋的缠结。缠结只出当今少数难缠的曲面上，但一朝出现，就会缕缕行行，令东谈主应接不暇。要是蒙克和安娜塔拉曼将它们计入总额，就会打乱从测地线数目推算谱隙的要道筹备——导致放弃值小于1/4。

蒙克说，情况看上去毫无但愿。

当两个独处的团队在几个月内先后发表了论文，解说谱隙为3/16时，蒙克的消沉感更有加深。不外这个音问并莫得让安娜塔拉曼感到困扰，她只怜惜达到1/4。“当我源头作念计划时，我有点千里醉于一个远处的指标，”她说。显着这是她和米尔扎哈尼共有的一个特质。

但对于蒙克，她还在读博的终末一年，需要一个能让她完成论文的效力，她怀疑是否应该退而求其次。“我有点消沉，因为咱们原本莫得想要这样作念，”她说。

亚历克斯·赖特是取得3/16放弃的团队成员之一，他贯通蒙克的窘境。“让一个计划生挑战如斯费事的问题，这很诡秘，”他说。而且似乎莫得东谈主能想出宗旨罢了1/4。

但安娜塔拉曼有一个想法：转向数学的另一个领域——图论（graph theory），来寻找灵感。请记取，安娜塔拉曼和蒙克的指标是解说大无数双曲曲面齐是尽可能连通的。早在20年前，数学家乔尔·（Joel Friedman，1949 -）一经解说，大无数图（由过火和边组成的数学结构）齐具有这种脾气。

乔尔·弗里德曼解说，险些通盘由点和线组成的网罗，即图，齐具有某种要道脾气。数学家们最近采纳了他的效力来料理双曲几何中一个进犯的未解问题。图源：Joshua Friedman

但弗里德曼的论断并绝买卖迁徙。“这是一个出了名的高深出手，其解说流程相配冗长，难以简化，”赖特说。

当她们源头作念这项计划时，安娜塔拉曼曾尝试阅读弗里德曼的解说。但和许多其他数学家同样，她发现它难以贯通。她坦言：“那时我真的实足弄不解白。”但当今为了寻找新的踪迹，她采纳重问天书。

此次她有了发现。解说的某些法子令她似曾相识，就像她和蒙克试图处理的双曲曲面的图论版块。事实上，她意志到，弗里德曼在他的图中际遇了过火之间的复杂旅途，正如她面临的缠结测地线同样，齐会防碍取得谱隙的最好忖度。但不知何以，弗里德曼找到了化解之法，而安娜塔拉曼不太领会他是如何作念到的。

2022年5月，她和蒙克组织了一场研讨会，并邀请弗里德曼老师其责任。“她们照实需要一种深埋在我解说中的一种技艺，”弗里德曼如是说。

在解释她的数学想想时，一向内敛的米尔扎哈尼变得灵活开畅。她会评论各式感敬爱的事物，仿佛它们是故事中的扮装。图源：Jan Vondrák

弗里德曼执行上找到了一种步调，解说他不错将有问题旅途的图摈斥在筹备除外。在与弗里德曼交流后，蒙克和安娜塔拉曼意志到她们不错采纳实足疏导的战略。尽管仍需好多责任要作念，将弗里德曼的步调升沉为适用于双曲曲面十分勤奋，但她们的疑虑果决隐匿。“这相配令东谈主兴奋，”蒙克说，“此时，咱们确信尽头在望。”

抵制传承的遗产

2023岁首，这两位数学家撰写了一篇论文，详尽了她们迄今为止所作念的责任。在论文中，她们解说了2/9谱隙的新记录。“这是一个相配好的中间法子，”蒙克说。

次年，她们改良了弗里德曼的步调，并写出了策动，解释如何使用该步调得到1/4。上个月，她们终于完成了解说：无意采纳的双曲曲面极有可能具有最大谱隙。这一放弃拓展了数学家们联系双曲曲面的贯通，其他计划者当今但愿诓骗这对搭档的技艺来解答其他进犯问题，包括联统共论和能源学中进犯曲面的问题。

巴黎朱西厄数学计划所（Institute of Mathematics of Jussieu）的数学家安东·佐里奇（Anton Zorich）说，这项责任“就地会带来潮流般的新效力”。

这也让蒙克和安娜塔拉曼对米尔扎哈尼的计划有了更深远的了解。尽管蒙克从未看过米尔扎哈尼的任何讲座视频，也从未听过她的声息。她更但愿米尔扎哈尼“在我心中保留少量诡秘感”，但她合计我方好像通过米尔扎哈尼的解说相识了她。“当你仔细研读一个东谈主的解说时，你最终会卓绝贯通具体的计划内容，而了解她的想想，”蒙克说谈。

她很红运能够延续米尔扎哈尼的遗产，而数学家们也很期待这份遗产将催生怎样的异日。

赖特在谈到他的前任导师时说：“她未能看到这些效力，让我感到很痛心。”

佐里奇也有同感。“她本应该在那里玩赏这一切，”他笃定地说，“我信赖她会相配喜悦。”

本文经授权转自“zzllrr小乐”公众号，原标题《小乐数学科普：数学天才英年早逝多年后，她的想想欢快重生——译自量子杂志Quanta Magazine》。《返朴》对译文进行了校订，本文译自Joseph Howlett， Years After the Early Death of a Math Genius， Her Ideas Gain New Life，原文团结：https://www.quantamagazine.org/years-after-the-early-death-of-a-math-genius-her-ideas-gain-new-life-20250303/

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